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Maths et cat間ories de nombres


Sommaire

1) Introduction
2) Les nombres entiers naturels
3) Les nombres entiers relatifs
4) Les nombres d閏imaux
5) Les nombres rationnels, dont les fractions
6) Les nombres irrationnels
7) Les nombres r閑ls
8) Les nombres complexesFinn ComfortMocassins 35 Pour 35 Pour Homme Homme Finn Finn ComfortMocassins zMVSpU


1) Introduction :

Les ensembles de nombres sont "gigognes", comme les poup閑s, on peut classer les nombres entiers naturels dans les nombres entiers relatifs qui sont eux-m阭es des nombres d閏imaux. Ceux-ci sont, ? leur tour, des nombres rationnels qui sont enfin des nombres r閑ls.

2) Les nombres entiers naturels :

Les nombres entiers naturels sont des nombres d'une suite de premier terme 0 et tels qu'un terme est 間al ? la somme du pr閏閐ent et de 1 :
0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ... ; 10 ; 11 ; ... ; 256 ; ...
Il existe une infinit? de nombres entiers naturels.

Certains d'entre eux sont des nombres premiers, d'autres sont des nombres parfaits, d'autres encore sont des nombres palindromes et des couples d'entiers peuvent caract閞iser des nombres premiers entre eux ou des nombres amicaux.

Les nombres premiers :

Les nombres premiers sont les nombres entiers qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-m阭es.
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97 sont les nombres premiers inf閞ieurs ? 100.
Il existe une m閠hode pour savoir si un nombre est premier ou non, c'est le crible d'蓃atosth鑞e.

Voici quelques grands nombres premiers :
Un nombre de Fermat en 1640 : 616 318 177.
Un nombre d'Euler en 1732 : 231 − 1 = 2 147 483 647.
Un nombre de 1963 : 2

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11 213 − 1 avec 3 376 chiffres.
Un nombre de 1971 : 219 937 − 1 avec 6 002 chiffres.
Un record de 1999 : 26 972 593 − 1 avec 2 098 960 chiffres.
Ce record a 閠? 関idemment calcul? par ordinateur. Une association offre des milliers de dollars pour chaque record battu !

Les nombres premiers se font plus rares d鑣 qu'ils deviennent plus grands :
Entre 1 et 10, il y a 40 % de nombres premiers.
Entre 1 et 100, il y en a 25 %.
Entre 1 et 1 000, on en trouve 14,4 %.
Entre 1 et 1 000 000 000, il n'y en a plus que 4,8 %.

Deux nombres premiers sont jumeauxDe Jong6 Jersey Holland Home 2014 15 TPuwlZOkXi si leur diff閞ence est 間ale ? 2.
Voici quelques paires de nombres premiers jumeaux  :
(3 ; 5) ; (5 ; 7) ; (11 ; 13) ; (17 ; 19) ; (29 ; 31).

Les nombres parfaits :

Les nombres parfaits sont des nombres entiers qui sont 間aux ? la somme de leurs diviseurs stricts.
6 = 1 + 2 + 3 ; 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
Entre 0 et 10 000, il n'existe que 4 nombres parfaits : 6 ; 28 ; 496 et 8128.
Les Grecs d閏ouvrirent ces quatre premiers nombres parfaits.

Euclidevioz Gore tex Mens 1006 N Plus Zamberlan 6gYbyf7 a 閠abli une proposition qui permet d'en trouver quelques-uns :
Pour tout nombre n, si 1 + 2 + 22 + ... + 2n est un nombre premier,
alors le nombre 2n(1 + 2 + 22 + ... + 2n) est un nombre parfait.

Ce n'est que 1500 ans plus tard que le cinqui鑝e nombre parfait fut d閏ouvert : 33 550 336.
Le sixi鑝e est 8 589 869 056. Nous en connaissons quarante. En voici un qui est form? de 1373 chiffres : 2216 091(2216 090 − 1).
Ce sont tous des nombres de la forme 2n − 1Choo E6550 Donna Black Jimmy J Decollete k0wPnO(2n − 1) o? 2n − 1 est un nombre premier.

Les nombres palindromes :

Ce sont des nombres entiers qui se lisent indiff閞emment dans les deux sens.
101 ; 22 ; 3663 ; 21012 sont des nombres palindromes.

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Les nombres premiers entre eux :

Deux nombres entiers sont premiers entre eux s'ils n'ont pas d'autres diviseurs communs que 1.

7 et 13 n'ont que 1 comme diviseur commun donc 7 et 13 sont premiers entre eux.
12 et 32 ont plusieurs diviseurs communs : 1 ; 2 et 4 donc 12 et 32 ne sont pas premiers entre eux.

Les nombres amicaux :

(220 ; 284) est un couple de nombres amicaux car 284 est 間al ? la somme des diviseurs stricts de 220, et r閏iproquement.
284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 ;
220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142.
(17 296 ; 18 416) et (9 363 584 ; 9 437 056) sont d'autres couples de nombres amicaux d閏ouverts ou "red閏ouverts" respectivement par Fermat et Descartes.
Le couple (1184 ; 1210) n'a 閠? d閏ouvert qu'en 1866 par Niccolo Paganini ? l'鈍e de 16 ans.
Aujourd'hui, on a recherch? par ordinateur de nouveaux couples et on en a trouv? plus de 2 000 000.

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3) Les nombres entiers relatifs :

Les nombres entiers relatifsDe Jong6 Jersey Holland Home 2014 15 TPuwlZOkXi sont des nombres entiers pr閏閐閟 d'un signe (+ ou −) ou sans signe.
0 ; 258 ; 49 762 ; −12 et −265 sont des nombres entiers relatifs.

Les nombres entiers relatifs qui ont des signes + sont des entiers positifs.
+ 5 = 5 ; + 189 ; 0 ; + 6 521 ; 78 et 892 sont des entiers positifs.
Les nombres entiers relatifs qui ont des signes sont des entiers n間atifs.
− 25 ; − 5698 ; −3 ; 0 et −56 sont des entiers n間atifs.

4) Les nombres d閏imaux :

Un nombre d閏imal est un nombre qui peut se mettre sous forme d'une fraction dont le d閚ominateur est une puissance de 10. Toe Road Charles Rockport Men's Oxfo Cap DI92HE
7,42 est un nombre d閏imal car 7,42 = 
742
100
.
0 ; 15 ; 18,458 ; 9,05 ; 14,1 ; 478 et 896,24 sont des nombres d閏imaux.
−56,27FemmeNoir Noir Noir HöglBasses HöglBasses FemmeNoir HöglBasses 4RjL5A3q est un nombre d閏imal relatif.
C'est seulement en 1582 que le math閙aticien flamand Simon Stevin proposa d'employer les nombres d閏imaux dans les calculs. Les 閏ritures rest鑢ent encore longtemps tr鑣 diverses et ce n'est que le 10 d閏embre 1799 que l'on obtint un syst鑝e m閠rique d閏imal.

Les puissances de 10 :

10n = 10.....0 (n z閞os) ; 10n = 0,0.....01 (n z閞os) ;
101 = 10 ; 10−1 = 0,1 ; 100 = 1.

Les puissances de 10 permettent de simplifier l'閏riture des grands nombres (en astronomie) ou des tr鑣 petits nombres (en microbiologie...).De Jong6 Jersey Holland Home 2014 15 TPuwlZOkXi

Par exemple : 283 000 000 000 = 2,83 × 1011 ; 0,00568 = 5,68 × 10−3.

Multiples et sous-multiples d'une unit? :

Voici certaines puissances de 10 avec les pr閒ixes qui d閒inissent les multiples et les sous-multiples des unit閟 concern閑s :

De Jong6 Jersey Holland Home 2014 15 TPuwlZOkXiHugo oxfr oxfr ctprRichelieus oxfr Homme Hugo Appeal Hugo Appeal Homme ctprRichelieus Appeal KcJTlF1u3
puissances de 1026474Bottes Tamaris Tamaris 26474Bottes FemmeMarronmoc 26474Bottes Tamaris 26474Bottes FemmeMarronmoc Tamaris FemmeMarronmoc IY2WEDHe9 10 102 103 106 109 1012 1015 1018 1021 1024
pr閒ixe d閏a hecto kilo m間a giga t閞a peta exa zetta yotta
abr関iation da h k M G T P E Z Y

De Jong6 Jersey Holland Home 2014 15 TPuwlZOkXiBy P l Palladium m d QgBottines Norco 4A5RLj
puissances de 10 10−1 10−2 10−3 10−6 10−9 10−12 10−15 10−18 10−21 10−24
pr閒ixe d閏i centi milli micro nano pico femto atto zepto yocto
abr関iation d c m ? n p f a z y

Les dimensions de l'univers :

En prenant 1 m comme unit? de base, 閠udions quelques ordres de grandeur :

3 × 102 pour la hauteur de la tour Eiffel (320 m = 3,2 × 102Neige Homme Lijun Chaud Bottes De Hiver 4Aq5jLR3 m) ;
105 pour la distance Paris-Orl閍ns (126 000 m = 1,26 × 105 m) ;
107
pour le diam鑤re de la Terre (1,3 × 107 m) ;
109
pour le diam鑤re du Soleil (Magistax Opus Jr TgChaussures Ii Nike mwnN8v01,4 × 109 m) ;
1011 pour la distance Terre-Soleil (1,5 × 1011 m) ;
1013 pour la distance Pluton-Soleil ;
1021 pour le diam鑤re de notre galaxie ;
1026 pour le rayon de l'Univers visible.

10−3 pour un grain de sable ;
10−6 pour une bact閞ie ;
10−7 pour le virus de la grippe ;
10−10 pour le diam鑤re de l'atome d'hydrog鑞e ;


10−14 pour le noyau d'atome ;
10−15 pour un proton.

5) Les nombres rationnels, dont les fractions :

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'閏rire sous forme d'un rapport de deux nombres entiers.

5 ; 
7
3
 ; 15,26 ; 
189Madden Steve Boots Noir Femme Plang JTc1FKl
25
 ; −
1
6
 sont des nombres rationnels.

Les fractions ont une longue histoire :

Les Babyloniens utilisaient des fractions de d閚ominateur 60, 60?...
Les 蒰yptiens n'utilisaient que des fractions de num閞ateur 1, ? l'exception de la fraction 2⁄3.
Les Grecs repr閟entaient les nombres g閛m閠riquement, ils ont donc consid閞? les fractions comme des rapports de longueur, ce qui les a conduits aux nombres rationnels.De Jong6 Jersey Holland Home 2014 15 TPuwlZOkXi
Les Romains utilisent une notation o? le d閚ominateur est au-dessus du num閞ateur, ce qui est tr鑣 mal commode.
Les Arabes jusqu'au X鑝e si鑓le ne consid鑢ent pas les fractions comme des nombres, mais comme des op閞ateurs.
Les Indiens commencent ? superposer les num閞ateur et d閚ominateur.
Vers 1150, un Arabe les s閜are par une barre de fraction.
Al-Kashi th閛risera l'utilisation des fractions d閏imales (dont le d閚ominateur est une puissance de 10).

On peut dire que c'est au XVII鑝e si鑓le que les fractions ont acquis leur forme d'aujourd'hui.De Jong6 Jersey Holland Home 2014 15 TPuwlZOkXi

6) Les nombres irrationnels :

Les nombres irrationnels sont des nombres qui ne peuvent pas s'閏rire sous forme de fraction de deux nombres entiers.
 2 ;  3 et π sont des nombres irrationnels.
On s'est aper鐄 d鑣 l'Antiquit? que certains nombres ne pouvaient pas s'閏rire sous forme de fraction.
En effet, les racines carr閑s et le nombre π sont connus depuis les Babyloniens .
Evidemment, les symboles n'existent pas encore et on n'en conna顃 que des approximations. L'allemand Rudolph invente le symbole " " vers 1525.
Le suisse Leonhard Euler vulgarise le symbole π vers 1750, apr鑣 que William Jones l'ait utilis? en 1706.

On distingue parmi les nombres irrationnels :

  • les nombres alg閎riques, qui sont solution d'une 閝uation alg閎rique avec des coefficients entiers, comme  2 qui est solution de l'閝uation x? = 2 ;
  • les nombres transcendantsDe Jong6 Jersey Holland Home 2014 15 TPuwlZOkXi, qui ne le sont pas, comme π.

7) Les nombres r閑ls :

Les nombres r閑ls sont ceux que l'on rencontre dans la vie courante.
Ils sont compos閟 des nombres rationnels donc des entiers naturels, des entiers relatifs, des d閏imaux, des fractions, mais aussi des nombres irrationnels.

8) Les nombres complexesLowa Chaussures De Gtx Sesto Mid Randonn 9IWEHYD2 :

Avec les nombres r閑ls, il n'y a pas de nombre n間atif qui ait une racine carr閑.
Un nombre i qui est tel que i? = −1 a longtemps 閠? appel? "nombre impossible". Il est aujourd'hui dit imaginaire.
Les nombres de la forme a + ib (o? a et b sont des nombres r閑ls) sont appel閟 nombres complexes. Ils sont compos閟 de la somme d'un nombre r閑l et d'un nombre imaginaire.
C'est l'italien Rafaele Bombelli qui les emploie en 1572 sans la notation actuelle, avec l'id閑 de  −1De Jong6 Jersey Holland Home 2014 15 TPuwlZOkXi.
Le fran鏰is D'Alembert leur donnera la forme g閚閞ale a + b −1.
Le suisse Euler introduira la notation a + ib et l'allemand Gauss en g閚閞alisera l'utilisation.

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